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许文立，CIMERS，cimers_dsge@econmod.cn
Higher?Oder Approximation?of DSGE
全文约2800字
预计需12分钟阅读全文
为什么要做高阶近似？（1）福利分析；（2）更精确；（3）状态依赖效应；（4）不确定性冲击。经验数据显示较大规模的冲击时，高阶近似可能会“爆炸(explosion)”。通常，我们会：（1）减少冲击规模；（2）采用pruning；还有一种方式（3）非线性移动平均（NLMA）。今天，我们就给大家介绍一下这些方法及code的用法。
正
文
金融危机后，人们越来越认识到宏观经济的非线性效应。DSGE模型也不像过去一样用一阶近似，而更多的使用高阶近似。
Dynare中现在也可以使用高阶近似（基于2阶和3阶近似）。高阶近似有许多好处：
（1）对于福利分析来说，用高阶近似更加恰当，参见【免费下载】Dynare v4.5 - User Guide for Advanced Topics中的福利分析章节；
（2）高阶近似更加精确；
（3）高阶近似允许我们来研究状态依存效应，即脉冲响应依赖于冲击发生时的初始状态；
（4）如果我们想要研究不确定性冲击（即外生冲击方差的冲击，二阶矩冲击），就必须用到3阶近似。
?
但是，我们在做高阶近似的时候，可能会出现高阶状态空间表达式的系数“爆炸”（explosion）的情况。那么，这个时候，我们怎么计算脉冲响应，并得到模拟结果呢？
今天就为大家提供几种解决方案。
一、模型
本文的基准模型来自E. Sims（2017）：“Using Dynare”。

其中，变量名称都为常规经济指标。极限为横截条件。
DSGE的模型构建与推导，经济含义参见往期“DSGE建模与编程汇总”。
二、Dynare code
% Higher order approximation:% (1) reducing size of shocks% (2)pruning% (3)NLMA—nonlinear maving aerage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% the template is based on the model in Sims' "Using Dynare"% @Wenddy Xu,CIMERS, xuweny87@163.com
var y I k a c w R r;varexo e;parameters alpha beta delta rho sigma sigmae;
alpha=1/3;beta=0.99;delta=0.025;rho=0.95;sigma=1;sigmae=1; % 冲击的标准差
model;
exp(c)^(-sigma)=beta*exp(c(1))^(-sigma)*(alpha*exp(a(1))*exp(k)^(alpha-1)+(1-delta));
exp(y) = exp(a)*exp(k(-1))^(alpha);exp(k) = exp(a)*exp(k(-1))^(alpha)-exp(c) + (1-delta)*exp(k(-1));a = rho*a(-1) + e;exp(y) = exp(c) + exp(I);exp(c)^(-sigma) = beta*exp(c(+1))^(-sigma)*(1+r);exp(R) = alpha*exp(a)*exp(k(-1))^(alpha-1);exp(w) = (1-alpha)*exp(a)*exp(k(-1))^(alpha);
end;
initval;k = log(30);y = log(3);c = log(2.5);I = log(0.5);a = 0;r = (1/beta)-1;R = log((1/beta)-(1-delta));w = log(1);end;
shocks;var?e?=?sigmae^2;??%?外生冲击e的方差end;
steady;
stoch_simul(order=2,irf=40);
如果我们直接运行上述dynare code，matlab不会显示脉冲相应图(IRFs)，并提示：
stoch_simul: The simulations conducted for generating IRFs to e were explosive.stoch_simul: No IRFs will be displayed. Either reduce the shock size, stoch_simul:?use?pruning,?or?set?the?approximation?order?to?1.
上面这个提示信息就表示，我们在对模型进行2阶近似的时候，状态空间表达式的系数出现“爆炸”。Dynare的提示已经给出了三种解决方案：
（1）将模型近似阶数设置为1，即order=1。可是，正如本讲的目的，我们就是想做高阶近似，那怎么办？
（2）降低冲击规模；
%?我们可以看看上述代码的19行和47行：sigmae=1; % 冲击的标准差
var e = sigmae^2; % 外生冲击e的方差
此处设置的冲击规模sigmae=1表示外生冲击的方差为1，其冲击规模太大。我们可以降低该值，例如，sigmae=0.01，来解决上述“爆炸”问题。
% 我们可以看看上述代码的19行和47行：sigmae=0.01; % 冲击的标准差
var e = sigmae^2; % 外生冲击e的方差
问题在于，外生冲击的规模可能是我们根据我国实际数据计算得到的。也就是说，在某些时候，我国的技术冲击方差就是1。那么，降低冲击规模肯定不合适，这个时候怎么办？
（3）Dynare还提供了另一种解决方案：使用stoch_simul(pruning)；也就是说，将上述代码的第50行改为：
stoch_simul(order=2,irf=40,pruning);
这时，我们可以得到脉冲响应结果：

下面，我们来看看“pruning”背后的机制：
以一个二次型一阶自回归过程为例（注：DSGE在二阶近似下得到的缩减形式解有更多项）：
yt=ρyt-1^2
给定初值为y0，那么，
y1=ρy0^2
y2=ρ^3y0^4
……
这里，我们可能就有点熟悉了。因为|ρ|<1，上述AR过程似乎是平稳过程。为什么是似乎？因为上述过程产生的路径仍有可能是发散的，这还依赖于初始状态y0。如果|y0|>1，那么，上述过程就是发散的！
当我们在处理非线性模型时，动态路径依赖于历史是常常会遇到的问题。但是，Dynare在处理非线性DSGE的情况变得更坏，这是由于对原始模型用扰动法得到的近似。
而pruning法就是尝试消除与初始条件相关的“爆炸”问题。pruning是丢弃二阶以上的近似项。这个想法是由Kim，kim，Schaumburg and Sims（2008）提出来的。
假设真实模型为：
yt=Γyt-1+ρyt-1^2
pruning法是由另一个状态变量扩增形式组成，另一个状态变量则是由真是模型的线性部分定义：
zt=Γzt-1
且z0=y0。这个模型就转变成：
yt=Γyt-1+ρzt-1^2
zt=Γzt-1
很明显，上述系统产生的动态路径与原始模型的路径不同。但是只要新的变量zt是平稳的，上述系统就是平稳的。路径并不依赖于初始条件。
pruning虽然可以解决高阶近似“爆炸”问题，但它也存在问题：正如上文提及的，pruning改变了原始模型，也就是说，我们用pruning得到的脉冲响应实际上并不是原始模型的脉冲响应。de Haan（2016）指出，pruning会使得扰动解产生非常大的扭曲。
（4）除了上面三种解决方案外，还有第四中方法来解决上述问题。那就是Lan and Meyer-Gohde（2013，JECD)提出的非线性移动平均（NLMA）近似。
首先，去Lan Hongken的Github（https://github.com/lanhongken/nlma）下载NLMA工具包。
然后，将nlma文件夹放到Dynare的contrib文件里：
C:\dynare\4.5.7\contrib\nlma %对应自己电脑的文件夹路径再然后，将上述路径增加到Matlab的工作路径中：
>> addpath C:\dynare\4.5.7\contrib\nlma最后，我们只需要在上述MOD文件的最后加上nlma代码即可：
stoch_simul(order=2,irf=0);
options_.irf = 40;
nlma_irf?=?nlma_irf(M_,options_,var_list_);
上述代码中，我们需要将stoch_simul中的irf=0，这是不让dynare产生脉冲相应图；然后设置options_.irf=40;用nlma_irf来调用nlma工具箱计算并画出二阶脉冲响应图。这个时候，MATLAB就会给出所有内生变量的脉冲相应图。例如：

由于NLMA工具箱会分别画出DSGE模型中每一个内生变量的脉冲相应图，对于大型模型来说，内生变量较多。因此，建议在stoch_simul命令后加上我们感兴趣的内生变量名：
stoch_simul(order=2,irf=0)y?I?c;?%这时候只会画出y，I，c的脉冲相应图
options_.irf = 40;
nlma_irf?=?nlma_irf(M_,options_,var_list_);
NLMA算法的理论细节请参见Lan and Meyer-Gohde(2013,JEDC)。
值得一提的是，在下下一代Dynare 5.0中将合并nlma。也就是说，在Dynare 5.0中，我们将在高阶近似的stoch_simul中见到选项nlma，因此，今天的推文相当于是提前体验一下Dynare 5.0的功能。
（1）推荐阅读Dynare手册和Lan and Meyer-Gohde（2013，JECD），支持原创研究
（2）上述代码，上传到“定量经济分析平台”www.econmod.cn。可免费注册下载！引用请注明来源！
THE END
●图片贴纸来源 | 秀米IUMI
●排版 |?许坤，卢倩倩
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